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『経済学で出る数学』 指数・対数と金利

3.1 複利計算

 

・複利計算のできる高校生は全体の22.6%しかいなかった。

 

・複利計算の場合は預けなおしても利息が変わらない。

 

・複利計算ではc万円を利子率rでt年間(t単位期間)預けると、c(1+r)^t万円になる。このとき、1+rを粗利子率、rを純利子率と言う。

 

3.2 累乗の計算

 

3.3 割引現在価値

 

・1年後の1万円の現在の価値は1/(1+r)万円である。この値を割引因子といい、δを用いて表す。これを使うと、1年後の1万円の現在の価値はδ万円である、といえる。

 

・債券には「ゼロクーポン債」と「利付債」がある。前者は期限になると額面の金額が支払われる償還のみがあり、後者はそれに加えて利子がつく。

 

・割引因子δは利子率以外にも、時間選好を表す指標として使われる場合がある。

 

3.4 複利計算ーその2

 

・複利計算をする場合に、どの時点である金額を超えるかを計算するには、対数の概念を用いる。

 

3.5 対数の計算

 

3.6 常用対数による近似計算

 

・利子率5%で預金したときに複利計算で金額が2倍になるまでの年数yは、

y=log(1.05)2 と表せる。

 

・常用対数の値さえ知っていれば、どんな底の対数も計算できる。

 

 3.7 自然対数と連続時間での利子率・割引率

 

・連続時間は、離散時間において単位機関の長さをどんどん短くしていった極限とみなすことができる。

 

オイラー数はeで表され、およそ2.71828である。これは(1+1/x)^xのxを無限に大きくしたときの値である。

 

・72の法則とは、x年間で元本を二倍に増やすには、72/x=r%の利子率が必要という意味である。

 

3.8 もう少し練習